Casi hasta el hartazgo en general
—Si divido una recta en dos ¿cuántos elementos tenemos?
—Dos.
—No, tres.
—¿Por qué?
—Porque obtengo la parte A, la parte B y el todo...
—¡Aaaah!
—¿Y cómo hacer para relacionar, desde el punto de vista de las proporciones entre los elementos, A, B y el todo?
—Eeeeh...
—¡Sí, con Φ!
—¿Φ?
—¡Sí, Φ, Phi!
—Fi
—Sí, Phi, la letra griega que representa un número irracional que se obtiene así:
—Dos.
—No, tres.
—¿Por qué?
—Porque obtengo la parte A, la parte B y el todo...
—¡Aaaah!
—¿Y cómo hacer para relacionar, desde el punto de vista de las proporciones entre los elementos, A, B y el todo?
—Eeeeh...
—¡Sí, con Φ!
—¿Φ?
—¡Sí, Φ, Phi!
—Fi
—Sí, Phi, la letra griega que representa un número irracional que se obtiene así:
—¿Y para qué sirve?
—Para nada, Φ es algo absolutamente ineficiente e inútil pero al principio parece todo lo contrario. Representa el cociente de la proporción áurea, la cual es ni más ni menos que la manera de relacionar los tres elementos de los que estábamos hablando: el segmento que llamamos A, el otro segmento B y toda la recta.
—¿Podría darme más información, por favor?
—Cómo no, puedo darle información casi hasta el hartazgo. Le pongo un ejemplo: si a la recta la dividimos en dos partes de forma que la parte A y la parte B midan exactamente lo mismo, habrá entre esas partes una relación de igualdad que podríamos expresar como proporción 1:1, pero ninguna de estas partes mantiene la misma relación con el todo, ya que él es el doble de cada una de ellas, y esa proporción se expresa como 2:1; tenemos entonces por un lado una proporción 1:1 y por otro una proporción 2:1 y no logramos establecer una única relación entre los tres elementos: A, B y el todo. En cambio la proporción áurea es aquélla que divide al todo en dos partes desiguales, y que la parte mayor y la parte menor mantienen una proporción que es exactamente la misma que mantienen el todo con la parte mayor. Así se logra relacionar los tres elementos: A, B y el todo.
—¡Aaaah!
—Φ, como ya dije, es un cociente que surge de la división entre las dos partes entre sí o del todo con la parte mayor. Dicho de otro modo, siempre que dividamos los valores de dos partes relacionadas y el cociente dé como resultado Φ, esas partes estarán en proporción áurea.
—¡Ooooh!
—Como se encuentra esta proporción en muchos seres de la naturaleza y muchos seres de la naturaleza atribuyen ésta a una creación de Dios, esa proporción tomó el nombre que tiene: proporción áurea o proporción divina.
—¡Uuuuh!
—De ahí que muchos artistas tomaron esta especie de regla matemática para construir según ella sus obras. Pintores, arquitectos, escultores y músicos estuvieron por siglos prestándole atención al irracional Φ. Φ, ese inútil, si algo útil tiene es que si multiplicamos el valor del todo por la parte decimal de Φ, es decir 0,618033989... obtenemos el punto áureo por el cuál dividir el todo en dos partes divinamente, naturalmente proporcionadas. ¿Sigo?
—Y...
—Para nada, Φ es algo absolutamente ineficiente e inútil pero al principio parece todo lo contrario. Representa el cociente de la proporción áurea, la cual es ni más ni menos que la manera de relacionar los tres elementos de los que estábamos hablando: el segmento que llamamos A, el otro segmento B y toda la recta.
—¿Podría darme más información, por favor?
—Cómo no, puedo darle información casi hasta el hartazgo. Le pongo un ejemplo: si a la recta la dividimos en dos partes de forma que la parte A y la parte B midan exactamente lo mismo, habrá entre esas partes una relación de igualdad que podríamos expresar como proporción 1:1, pero ninguna de estas partes mantiene la misma relación con el todo, ya que él es el doble de cada una de ellas, y esa proporción se expresa como 2:1; tenemos entonces por un lado una proporción 1:1 y por otro una proporción 2:1 y no logramos establecer una única relación entre los tres elementos: A, B y el todo. En cambio la proporción áurea es aquélla que divide al todo en dos partes desiguales, y que la parte mayor y la parte menor mantienen una proporción que es exactamente la misma que mantienen el todo con la parte mayor. Así se logra relacionar los tres elementos: A, B y el todo.
—¡Aaaah!
—Φ, como ya dije, es un cociente que surge de la división entre las dos partes entre sí o del todo con la parte mayor. Dicho de otro modo, siempre que dividamos los valores de dos partes relacionadas y el cociente dé como resultado Φ, esas partes estarán en proporción áurea.
—¡Ooooh!
—Como se encuentra esta proporción en muchos seres de la naturaleza y muchos seres de la naturaleza atribuyen ésta a una creación de Dios, esa proporción tomó el nombre que tiene: proporción áurea o proporción divina.
—¡Uuuuh!
—De ahí que muchos artistas tomaron esta especie de regla matemática para construir según ella sus obras. Pintores, arquitectos, escultores y músicos estuvieron por siglos prestándole atención al irracional Φ. Φ, ese inútil, si algo útil tiene es que si multiplicamos el valor del todo por la parte decimal de Φ, es decir 0,618033989... obtenemos el punto áureo por el cuál dividir el todo en dos partes divinamente, naturalmente proporcionadas. ¿Sigo?
—Y...
Casi hasta el hartazgo en particular
El sistema tonal, y la mayoría de los sistemas de organización de las alturas de los sonidos, basa su existencia en un axioma: el intervalo de octava es el ciclo para el oído humano. A la vez, tal sistema divide a ese intervalo en doce partes iguales, los semitonos. Para dividir a la octava en proporción áurea dentro del sistema tonal podemos aplicar la fórmula del siguiente modo:
Como no existe en el sistema 7,4 semitonos decimos que el punto áureo de la octava está en los 7 semitonos (quinta justa), por lo que es posible dividirla de estas dos maneras:
La octava dividida en proporción áurea.
Si a la vez buscamos la proporción áurea de la quinta (7 semitonos) obtenemos la tercera mayor (4 semitonos):
Proporción áurea del intervalo de quinta justa.
Hemos llegado a obtener, a través de dividir la octava y la quinta en proporción áurea, las dos configuraciones sonoras simultáneas fundacionales de la armonía del sistema tonal: los acordes mayor y menor.
Así como en una recta tenemos dos puntos áureos (dividiéndola en mayor-menor y menor-mayor), en la octava, recta musical, también:
Los dos puntos áureos dentro de la octava.
Vista así la octava ya nos hace pensar en los tetracordios de los antiguos griegos y la manera de éstos de construir escalas, con la simetría como parámetro primordial. Si a la vez producimos un punto áureo entre Do5-Sol4 y otro entre Fa4-Do4 (5 ∗ 0,618033989 = 3,090169944), buscando la simetría entre las dos cuartas disjuntas contenidas en la octava, llegamos, oh sorpresa, a una escala pentáfona:
Escala pentáfona, simétrica y áurea.
Una melodía construida sobre esta escala, que busque ubicar en sus momentos más importantes (inicio y fin de frase) las notas que proporcionan a la octava en forma áurea, estará aportando una organización formal asociada a tal proporción:
Melodía simétrica, basada en la escala pentáfona áurea.
Observamos que en la primera frase, marcada en el ejemplo con un corchete, tiene el equivalente a 16 corcheas en duración. ¿Proporcionamos?
Así que el equivalente a 6 y 10 corcheas corresponden a las partes menor y mayor de 16, justo la duración de la primera y segunda hemifrases, marcadas en el ejemplo con ligaduras. La segunda frase no es más que la réplica de la primera, un tetracordio más grave.
Aspectos armónicos, melódicos, rítmicos y formales danzando alrededor de la proporción áurea en el sistema tonal (y en otros). Quien use este sistema aunque nunca haya siquiera oído hablar de la proporción áurea, estará usándola.
Casi harto de la tonalidad en particular y de la naturaleza en general
—Dígame, usted que es músico, ¿por qué siempre se dice que Mozart, Bach, Beethoven, Debussy, Bartók y otros usaban en su música la proporción áurea?
—Porque la usaban. Todos ellos usaban el sistema tonal (en el caso de Bartók es una tonalidad ampliada en varios sentidos pero que no deja de estar basamentada en la tonalidad más tradicional), y el sistema tonal aparenta estar construido sobre la proporción áurea.
—Disculpe que lo interrumpa, pero hay una palabra en su discurso que me hace un poco de ruido: aparenta. ¿El sistema tonal no es acaso construido sobre la proporción áurea?
—Buena observación. No puedo más que confirmar sus sospechas. El sistema tonal divide a la octava en 12 semitonos iguales tras una larga caminata cultural que fue pasando por diversos sistemas de afinación y muchos tipos de temperamentos, todos ellos producto de las necesidades compositivas de cada época y ninguno de ellos respondiendo a la naturaleza. En el igual temperamento, salvo la octava, nada está de acuerdo a la naturaleza del sonido, nada está, digámoslo así, afinado. Por eso tomar como unidad de medida de la octava el semitono igual temperado es ya tomar una unidad de medida no-natural, surgida de prácticas culturales de siglos, así que la proporción áurea de la octava deducida desde esos semitonos no es la proporción áurea de la octava, sino la proporción áurea del sistema tonal.
—Comprendo, creo...
—Aclarado que la tonalidad no representa a la naturaleza, me interesa decir algo más.
—Usted dirá.
—Que creer que la proporción áurea encierra a toda la naturaleza es por lo menos inocente; que creer que la proporción áurea es la única posibilidad de la naturaleza es no haberse dado cuenta que la naturaleza tiene una abrumadora cantidad de posibilidades, y que algunas se manifiestan, otras se pierden y otras más quedan latentes. Pienso que es más pertinente hablar de naturalezas, así en plural, en lugar de la naturaleza.
—Creo saber hacia dónde va.
—¿Hacia dónde cree usted que voy?
—Hacia un pedido de auxilio.
—¡Sí, amigo, ha usted acertado! ¡Muerte a la proporción áurea! ¡Quiero ver y oír otras naturalezas! ¡Quiero que no nos resignemos a ver una sola posibilidad! ¡Quiero otras tonalidades, quiero otra afinación!... Tal vez, después de todo, no quiera tanto la muerte de la proporción áurea. ¿Qué le parece?
—Y...
—Porque la usaban. Todos ellos usaban el sistema tonal (en el caso de Bartók es una tonalidad ampliada en varios sentidos pero que no deja de estar basamentada en la tonalidad más tradicional), y el sistema tonal aparenta estar construido sobre la proporción áurea.
—Disculpe que lo interrumpa, pero hay una palabra en su discurso que me hace un poco de ruido: aparenta. ¿El sistema tonal no es acaso construido sobre la proporción áurea?
—Buena observación. No puedo más que confirmar sus sospechas. El sistema tonal divide a la octava en 12 semitonos iguales tras una larga caminata cultural que fue pasando por diversos sistemas de afinación y muchos tipos de temperamentos, todos ellos producto de las necesidades compositivas de cada época y ninguno de ellos respondiendo a la naturaleza. En el igual temperamento, salvo la octava, nada está de acuerdo a la naturaleza del sonido, nada está, digámoslo así, afinado. Por eso tomar como unidad de medida de la octava el semitono igual temperado es ya tomar una unidad de medida no-natural, surgida de prácticas culturales de siglos, así que la proporción áurea de la octava deducida desde esos semitonos no es la proporción áurea de la octava, sino la proporción áurea del sistema tonal.
—Comprendo, creo...
—Aclarado que la tonalidad no representa a la naturaleza, me interesa decir algo más.
—Usted dirá.
—Que creer que la proporción áurea encierra a toda la naturaleza es por lo menos inocente; que creer que la proporción áurea es la única posibilidad de la naturaleza es no haberse dado cuenta que la naturaleza tiene una abrumadora cantidad de posibilidades, y que algunas se manifiestan, otras se pierden y otras más quedan latentes. Pienso que es más pertinente hablar de naturalezas, así en plural, en lugar de la naturaleza.
—Creo saber hacia dónde va.
—¿Hacia dónde cree usted que voy?
—Hacia un pedido de auxilio.
—¡Sí, amigo, ha usted acertado! ¡Muerte a la proporción áurea! ¡Quiero ver y oír otras naturalezas! ¡Quiero que no nos resignemos a ver una sola posibilidad! ¡Quiero otras tonalidades, quiero otra afinación!... Tal vez, después de todo, no quiera tanto la muerte de la proporción áurea. ¿Qué le parece?
—Y...
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