domingo, 9 de enero de 2011

—¡Estoy casi harto de la proporción áurea!

Hemos encontrado casi hasta el hartazgo información referida a la proporción áurea en general y de ella en relación a la música en particular, y hemos encontrado casi hasta el hartazgo que en dicha información está presente casi hasta el hartazgo la idea de que tal proporción se encuentra casi hasta el hartazgo en la naturaleza principalmente por una razón de eficiencia y utilidad: es eficiente y útil para el árbol disponer según esta proporción sus ramas para que el sol llegue a muchas de sus hojas; es eficiente y útil para el caracol tener forma de caracol y esta forma responde a esa proporción; es eficiente y útil para la estrella de mar ser una estrella con esas proporciones... Podría decirse, por otro lado, que nuestros sentidos se educan, por percibir toda esa naturaleza de la que parte somos, conociendo como bueno aquello que responde a la proporción áurea, ya que es bueno ser naturalmente eficiente porque serlo significa aumentar las posibilidades de supervivencia, lo cual es bueno. Bueno.

Casi hasta el hartazgo en general

—Si divido una recta en dos ¿cuántos elementos tenemos?
—Dos.
—No, tres.
—¿Por qué?
—Porque obtengo la parte A, la parte B y el todo...
—¡Aaaah!
—¿Y cómo hacer para relacionar, desde el punto de vista de las proporciones entre los elementos, A, B y el todo?
—Eeeeh...
—¡Sí, con Φ!
—¿Φ?
—¡Sí, Φ, Phi!
—Fi
—Sí, Phi, la letra griega que representa un número irracional que se obtiene así:
—¿Y para qué sirve?
—Para nada, Φ es algo absolutamente ineficiente e inútil pero al principio parece todo lo contrario. Representa el cociente de la proporción áurea, la cual es ni más ni menos que la manera de relacionar los tres elementos de los que estábamos hablando: el segmento que llamamos A, el otro segmento B y toda la recta.
—¿Podría darme más información, por favor?
—Cómo no, puedo darle información casi hasta el hartazgo. Le pongo un ejemplo: si a la recta la dividimos en dos partes de forma que la parte A y la parte B midan exactamente lo mismo, habrá entre esas partes una relación de igualdad que podríamos expresar como proporción 1:1, pero ninguna de estas partes mantiene la misma relación con el todo, ya que él es el doble de cada una de ellas, y esa proporción se expresa como 2:1; tenemos entonces por un lado una proporción 1:1 y por otro una proporción 2:1 y no logramos establecer una única relación entre los tres elementos: A, B y el todo. En cambio la proporción áurea es aquélla que divide al todo en dos partes desiguales, y que la parte mayor y la parte menor mantienen una proporción que es exactamente la misma que mantienen el todo con la parte mayor. Así se logra relacionar los tres elementos: A, B y el todo.
—¡Aaaah!
Φ, como ya dije, es un cociente que surge de la división entre las dos partes entre sí o del todo con la parte mayor. Dicho de otro modo, siempre que dividamos los valores de dos partes relacionadas y el cociente dé como resultado Φ, esas partes estarán en proporción áurea.
—¡Ooooh!
—Como se encuentra esta proporción en muchos seres de la naturaleza y muchos seres de la naturaleza atribuyen ésta a una creación de Dios, esa proporción tomó el nombre que tiene: proporción áurea proporción divina.
—¡Uuuuh!
—De ahí que muchos artistas tomaron esta especie de regla matemática para construir según ella sus obras. Pintores, arquitectos, escultores y músicos estuvieron por siglos prestándole atención al irracional ΦΦ, ese inútil, si algo útil tiene es que si multiplicamos el valor del todo por la parte decimal de Φ, es decir 0,618033989... obtenemos el punto áureo por el cuál dividir el todo en dos partes divinamente, naturalmente proporcionadas. ¿Sigo?
—Y...

Casi hasta el hartazgo en particular

El sistema tonal, y la mayoría de los sistemas de organización de las alturas de los sonidos, basa su existencia en un axioma: el intervalo de octava es el ciclo para el oído humano. A la vez, tal sistema divide a ese intervalo en doce partes iguales, los semitonos. Para dividir a la octava en proporción áurea dentro del sistema tonal podemos aplicar la fórmula del siguiente modo:
Como no existe en el sistema 7,4 semitonos decimos que el punto áureo de la octava está en los 7 semitonos (quinta justa), por lo que es posible dividirla de estas dos maneras:
 La octava dividida en proporción áurea.


Si a la vez buscamos la proporción áurea de la quinta (7 semitonos) obtenemos la tercera mayor (4 semitonos):


Proporción áurea del intervalo de quinta justa.

Hemos llegado a obtener, a través de dividir la octava y la quinta en proporción áurea, las dos configuraciones sonoras simultáneas fundacionales de la armonía del sistema tonal: los acordes mayor y menor.
Así como en una recta tenemos dos puntos áureos (dividiéndola en mayor-menor y menor-mayor), en la octava, recta musical, también:
Los dos puntos áureos dentro de la octava.

Vista así la octava ya nos hace pensar en los tetracordios de los antiguos griegos y la manera de éstos de construir escalas, con la simetría como parámetro primordial. Si a la vez producimos un punto áureo entre Do5-Sol4 y otro entre Fa4-Do4 (5 ∗ 0,618033989 = 3,090169944), buscando la simetría entre las dos cuartas disjuntas contenidas en la octava, llegamos, oh sorpresa, a una escala pentáfona:
Escala pentáfona, simétrica y áurea.

Una melodía construida sobre esta escala, que busque ubicar en sus momentos más importantes (inicio y fin de frase) las notas que proporcionan a la octava en forma áurea, estará aportando una organización formal asociada a tal proporción:
Melodía simétrica, basada en la escala pentáfona áurea.

Observamos que en la primera frase, marcada en el ejemplo con un corchete, tiene el equivalente a 16 corcheas en duración. ¿Proporcionamos?
Así que el equivalente a 6 y 10 corcheas corresponden a las partes menor y mayor de 16, justo la duración de la primera y segunda hemifrases, marcadas en el ejemplo con ligaduras. La segunda frase no es más que la réplica de la primera, un tetracordio más grave.
Aspectos armónicos, melódicos, rítmicos y formales danzando alrededor de la proporción áurea en el sistema tonal (y en otros). Quien use este sistema aunque nunca haya siquiera oído hablar de la proporción áurea, estará usándola.

Casi harto de la tonalidad en particular y de la naturaleza en general

—Dígame, usted que es músico, ¿por qué siempre se dice que Mozart, Bach, Beethoven, Debussy, Bartók y otros usaban en su música la proporción áurea?
—Porque la usaban. Todos ellos usaban el sistema tonal (en el caso de Bartók es una tonalidad ampliada en varios sentidos pero que no deja de estar basamentada en la tonalidad más tradicional), y el sistema tonal aparenta estar construido sobre la proporción áurea.
—Disculpe que lo interrumpa, pero hay una palabra en su discurso que me hace un poco de ruido: aparenta. ¿El sistema tonal no es acaso construido sobre la proporción áurea?
—Buena observación. No puedo más que confirmar sus sospechas. El sistema tonal divide a la octava en 12 semitonos iguales tras una larga caminata cultural que fue pasando por diversos sistemas de afinación y muchos tipos de temperamentos, todos ellos producto de las necesidades compositivas de cada época y ninguno de ellos respondiendo a la naturaleza. En el igual temperamento, salvo la octava, nada está de acuerdo a la naturaleza del sonido, nada está, digámoslo así, afinado. Por eso tomar como unidad de medida de la octava el semitono igual temperado es ya tomar una unidad de medida no-natural, surgida de prácticas culturales de siglos, así que la proporción áurea de la octava deducida desde esos semitonos no es la proporción áurea de la octava, sino la proporción áurea del sistema tonal.
—Comprendo, creo...
—Aclarado que la tonalidad no representa a la naturaleza, me interesa decir algo más.
—Usted dirá.
—Que creer que la proporción áurea encierra a toda la naturaleza es por lo menos inocente; que creer que la proporción áurea es la única posibilidad de la naturaleza es no haberse dado cuenta que la naturaleza tiene una abrumadora cantidad de posibilidades, y que algunas se manifiestan, otras se pierden y otras más quedan latentes. Pienso que es más pertinente hablar de naturalezas, así en plural, en lugar de la naturaleza.
—Creo saber hacia dónde va.
—¿Hacia dónde cree usted que voy?
—Hacia un pedido de auxilio.
—¡Sí, amigo, ha usted acertado! ¡Muerte a la proporción áurea! ¡Quiero ver y oír otras naturalezas! ¡Quiero que no nos resignemos a ver una sola posibilidad! ¡Quiero otras tonalidades, quiero otra afinación!... Tal vez, después de todo, no quiera tanto la muerte de la proporción áurea. ¿Qué le parece?
—Y...

15 comentarios:

  1. Cuando 2 minutos nos dice:
    "carlos se dejo crecer el bigote y tiene una 9 para el"
    "carlos se dejo crecer el bigot" nos demuestra adonde mosca (vocalista) pone el acento... si usted escucha el tema, se dara cuenta de que 2' respeta un estilo punk-barria-proporcionado-aureo y popular.
    Salut!

    ResponderEliminar
  2. Emilio:

    Gracias por leer y comentar.

    A vos que te gusta Tool, en ellos podrás encontrar juegos numéricos relacionados con la proporción áurea, especialmente en tu disco favorito.

    ResponderEliminar
  3. Querido Amigo, voy a sincerarme, cuanto más leo su blog, más cuenta me doy que no entiendo nada de la vida.

    Todo me genera preguntas...

    Una de ellas y tal vez la menos importante, es como hacer los caracteres en el gráfico que dice que Φ es igual a 1 + la raíz cuadrada de 5 dividido 2 nos da como resultante 1.61803.... etc

    Desde mi humilde lugar de lector lo felicito por la claridad con la que escribe cuestiones tan complejas.

    Un saludo.

    Augusto.

    ResponderEliminar
  4. Querido Amigo Augusto:

    Antes que nada gracias por leer el blog, animarse a participar y comentar en él, y por sus elogiosas palabras —un tanto exageradas por cierto.

    Le informo respecto a su inquietud sobre cómo lograr escribir caracteres especiales como Φ (más allá de copiar-pegar) y fórmulas matemáticas como la escrita en este artículo: LaTeX. Donald Knuth, un héroe de la informática mundial, hace una pila de años ya, dio forma a un proyecto que es fundacional en todo lo que tenga que ver con tipografiar y formatear texto en general, y texto científico en particular. Tal proyecto, de nombre TeX, evolucionó hacia un lenguaje de macros que facilitaron el trabajo del usuario. A ese conjunto de macros para TeX se lo conoce como LaTeX. Con LaTeX escribir la fórmula en cuestión es tan simple como:

    $$\Phi=frac{1+sqrt{5}}{2}$$

    LaTeX se encarga de darle formato a la fórmula, viéndose tal como en el artículo se muestra. LaTeX tiene múltiples formatos de salida (PDF, PS, RTF, etc.), entre los cuales se encuentra HTML, el formato de la web. Automáticamente convierte las fórmulas en archivos de imágenes (PNG, JPG). A la vez, existe un procesador de textos que oficia como interfaz gráfica para LaTeX: LyX. Con él, un usuario acostumbrado a los procesadores de textos de uso más común (Microsoft Word, OpenOffice Writer, LibreOffice Writer, WordPerfect) no se verá tan alienado intentando utilizar LaTeX, pudiendo por este camino acceder a una antigua tecnología que aún no ha sido claramente superada, y de esta manera poder dar a sus textos un acabado mucho más profesional. Por último, y aunque no lo haya preguntado, digo que los ejemplos musicales están hechos con Lilypond, programa de notación musical que se integra a las mil maravillas con LaTeX y LyX.

    Un gran saludo, Amigo Augusto,

    Nota contra Nota

    ResponderEliminar
  5. Forma y contenido, buenísimo Pablo =), extrañaba este tipo de lectura.

    ResponderEliminar
  6. Gracias, Rodrigo, por leer y comentar. Abrazo.

    ResponderEliminar
  7. Leo esto un poco tarde, pero es la primera vez que me hago una idea clara de cómo y hasta qué punto entra la proporción aúrea en la escala (escalas) musical. Y también del margen de esos redondeos necesarios para que cuadren las cosas, que no son tan despreciables. Gracias amigo (y gracias interné)...

    Me sumo a tu desmarque de la mitificación obsesiva y exhaustiva del tema. Y creo sin embargo (también) que esa "divina proporción" tiene un auténtico significado simbólico que se plasma en la naturaleza.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Estimado Anónimo (¡que me considera amigo!):

      Antes que nada, gracias por leer y comentar en este espacio (que bastante abandonado lo tengo). Me alegra que estas palabras hayan podido echar algo de luz sobre el tema, y más me alegra que Ud. lo haya dicho.

      No sé si es un "auténtico significado simbólico que se plasma en la naturaleza", o un repetido fenómeno natural (y por lo tanto eficiente) que en nuestra irremediable arquitectura simbólica no podemos dejar de significar. De todos modos dejó de ser sólo un fenómeno natural para incorporarse hace mucho ya fuertemente a nuestra cultura.

      Eliminar
  8. Pablo querido gracias por este espacio, no todos los días uno tiene la posibilidad y a veces tampoco el tiempo de ‘deliciarse’ en estas conversaciones y lecturas. Leí con tanto interés este post tuyo, pero ante el alud de certezas que se me derrumban con este enfoque tuyo, quisiera comentarte un poco eso que te decía el otro día en el concierto:
    Me acuerdo que mi papá (que te adoraba, aprovecho para decírtelo, podía hablar con vos como con nadie) me decía que el acorde mayor 'salía de la naturaleza' en el sentido en que -como vos explicás- a partir de una nota se desprenden los intervalos que lo conforman (5ta, 3ra, 7ma menor, si no me estoy equivocando en primer lugar, a los que van sumándose sucesivamente el resto de los intervalos) y me mostraba el asunto buscando los armónicos en una cuerda de guitarra. Es decir, que según él, esto era producto de una propiedad física del sonido; entiendo que en el sentido de que los armónicos no se pueden forzar a sonar, sino que son frecuencias de vibración que responden a un número específico, en este caso el largo de la cuerda. Amén de que él me lo demostrara con un instrumento en el que la subdivisión tonal es una convención y por tanto estaríamos observando el hecho en un sistema 'bien temperado', también sucede en una cuerda del violín. Quiero decir, que cualquier cuerda tensada entre dos puntos de modo que pueda producir un sonido, en su sola pulsación va superponiendo progresivamente -de modo que llega a escucharse como sonidos simultáneos- todos los sonidos de nuestra escala, los que forman el acorde mayor en primer término y que son los que mas se escuchan, pero ya escapándose de nuestra audición, el resto de la escala y lo que para nuestro oído occidental serían desplazamientos de estos sonidos a modo de la espiral del caracol (naturaleza 'no bien temperada'). A mí me parece que el universo hasta donde lo conocemos se construye sobre esta proporción, porque le permite reproducirse hasta el infinito como patrón de movimiento. Porque el otro patrón de estas características sería el cuadrado, pero en ese caso no habría posibilidad de movimiento y el universo estaría muerto (permitime una imagen entre tanto análisis). Por lo demás, me encanta recordar la palabras de mi papá, que me decían que el acorde mayor -brillante, exaltante, el sonido que me enseñó a relacionar con la alegría para identificarlo- era el sonido del universo, y que en la naturaleza del hombre estaba la alegría, una metáfora musical de otra metáfora: el paraíso original, y que el acorde menor, con su tristeza -en tanto la inversión de terceras es una convención- era producto de la cultura, la aparición del hombre en la tierra.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Querida Verónica! Hermoso tu comentario, lleno de información y de emoción al mismo tiempo. Yo también la pasé muy bien con tu papá, guitarrista y profesor dedicadísimo.

      Aunque no está dicho directamente, el contexto y tus palabras parecen afirmar que la relación que mantienen los armónicos del sonido entre sí tiene algo que ver con la proporción áurea. Esto me da oportunidad a pronunciar una de mis frases favoritas (de origen calchaquí): ¿Cómo sabrá ser, no?

      Al ser Φ un número irracional, es imposible representarlo en una fracción de números enteros. Sin embargo hay una serie infinita, que a medida que avanza los cocientes de pares contiguos de números de dicha serie se aproximan a Φ. La forma de construir esta serie es partiendo del par de números 1 y 1 y aplicando una regla de crecimiento: sumar los dos últimos números. Así, la serie continúa agregando un 2, que sumado al 1 dará un 3, que sumado al 2 dará un 5, que sumado al 3 dará un 8, y así sucesivamente. Esta serie se conoce como serie de Fibonacci. La serie de armónicos, aunque entre intervalos contiguos siempre haya una relación de mayor-menor similar al de la proporción áurea, no parece responder ni a Φ ni a Fibonacci. Si tomamos la cuerda (de la guitarra de tu papá o la de un violín), las proporciones de los diferentas intervalos respecto a la unidad (la cuerda) se pueden expresar como n-1/n, de forma tal que la octava es 1/2, la quinta 2/3, la cuarta 3/4, la tercera mayor 4/5, la tercera menor 5/6, 6/7 y 7/8 son intervalos que en nuestro sistema no se usan pero que los antiguos griegos supieron ponerles nombres, 8/9 la segunda mayor, y 15/16 la segunda menor. En el medio están todos esos intervalos que nos incomodan porque no caben en nuestro sistema... Si vemos las cosas desde el punto de vista de las frecuencias, el n-1/n se invierte y pasa a ser n/n-1, de modo tal que la octava (2:1) es el doble de frecuencia que la fundamental, la quinta (3:2) es la frecuencia de la nota más grave por 3 dividido 2, y el triple de la fundamenta (3:1). Tanto n/n-1 como n-1/n son series que tienen como límite 1, y que en mi ignorancia matemática no puedo sino sospechar y nada más que eso que quizás tengan estas series algo que ver con el número e, que a diferencia de Φ tiene que ver con cosas como el movimiento de un edificio en un temblor o el rendimiento de los intereses de un préstamo de dinero. Todo lo que de divino tiene Φ lo tiene e de mundano. Pero una vez más me surgen solamente estas palabras: ¿Cómo sabrá ser, no?

      Lo que sí sé es que no podré posponer mucho más tiempo la escritura de un nuevo artículo: "-Estoy casi harto de la serie de armónicos".

      El acorde mayor es justificable en la naturaleza, y el acorde menor, no. Tampoco es justificable que tengamos el semitono en nuestro sistema y no intervalos que surgen previamente al semitono en la serie. Nuestro sistema musical es una construcción cultural, que puede haberse iniciado con el modelo sonido convertido en acorde mayor, pero inmediatamete este acorde mayor se convierte en modelo transportado a los diferentes grados de la escala, dando lugar a el acorde menor, el disminuido... Mi pregunta es si no estuvo siempre entre las posibilidades haber iniciado el sistema con otra forma de imitar a la naturaleza (serie de armónicos) diferente al acorde mayor, y si como posibilidad, al haberse materializado el camino del acorde mayor, no ha muerto y tiene aún esa latencia la chance de manifestarse. ¿Sería así esta posibilidad otro paraíso perdido? Parece que le seguimos diciendo naturaleza a lo que nosotros somos capaces de percibir.

      Mencionas lo 'bien temperado', que es otra gran construcción cultural. Es un tema largo, y me obligará a escribir otro artículo: "-Estoy casi harto de la coma pitagórica". Aunque pensándolo bien, los dos temas son un solo tema, y deba escribir "-Estoy casi harto de la afinación".

      En definitiva, Verónica, ¿Cómo sabrá ser, no?

      Eliminar
  9. Me hacés reir mucho, vuelvo a leer y me vuelvo a reir, gracias Pablo querido por darnos la posibilidad de pensar estas cuestiones amparados en tu enorme inteligencia, lo que nos da posibilidad de hacer con nuestro pensamiento las piruetas que queremos sin temor a perdernos en el intento. Como prueba va este salto mortal :) que quedó pendiente hace días, porque como te dije antes, no siempre uno tiene el tiempo para ‘deliciarse’ con estas conversaciones.
    A ver, contraponiéndome una vez más a tu teoría, en un punto en el que quiero insistir. Y sólo para continuar esta conversación tan hermosa e interesante, que de otro modo quedaría en su mejor respuesta, el ‘Cómo sabrá ser no?’ jajajaj!!! que es en verdad la mejor respuesta a esta incógnita que intentamos despejar, porque tan bien encierra el sentir, la intuición y el conocimiento popular.
    El punto al que voy es que, independientemente de que el sistema tonal bien temperado es una convención, yo insisto en que no lo es la 'tonalidad'. La tonalidad como sistema devenido de la dichosa proporción áurea, de la cualidad física del sonido, inaplicable porque su esencia espiralada e infinita lo hace inejecutable y razón por la cual se llega través de diversos acomodamientos al famoso bien temperado clave del Sr. Bach. Como te mencioné en la carta anterior, yo creo que el hecho de que la naturaleza (entiéndase, el mundo fenoménico o lo que podemos aprehender a través de los sentidos y transformar en pensamiento) base su existencia en la 'divina proporción', no se debe a un aspecto funcional, eficiente, no es una cualidad utilitaria que puede tener grados de mayor o menor disposición, sino que es una cualidad indispensable. Ahí está el punto para mí. En que la proporción áurea como te dije antes, le permite a todas y cada una de las formas orgánicas reproducirse en condiciones de identicidad hasta el infinito generando en esta reproducción el patrón necesario para la próxima, es decir, aparece la espiral, genera movimiento. Antes te lo dije así: ..'le permite reproducirse hasta el infinito como patrón de movimiento. Porque el otro patrón de estas características sería el cuadrado, pero en ese caso no habría posibilidad de movimiento y el universo estaría muerto'.
    Ahora bien, aceptar esta idea implica descartar la idea de la posibilidad de una naturaleza diferente. Como idea pura podemos decir que si existe algo también existe su opuesto, y que por ende debe existir por lo menos una naturaleza diferente a la que conocemos. Pero si lo que queremos saber es ..‘si no estuvo siempre entre las posibilidades haber iniciado el sistema con otra forma de imitar a la naturaleza (serie de armónicos) diferente al acorde mayor, y si como posibilidad, al haberse materializado el camino del acorde mayor, no ha muerto o tiene aún esa latencia la chance de manifestarse’.. yo, hasta donde lo puedo pensar, te diría que no. Que la tonalidad (reitero la tonalidad como sistema desprendido de los armónicos de un sonido, la tonalidad inejecutable, no su acomodamiento a la posibilidad de ser ejecutada instrumentalmente, no lo que conocemos como tonalidad, la afinación Bachiana que manejamos como tonalidad hasta el día de hoy en el mundo occidental) digo, la tonalidad ‘es’ el resultado, la manifestación audible de la naturaleza cósmica, más allá de que después la naturaleza humana la acomode, la rompa o haga con ella lo que le es dado hacer al ser humano: alterarla, dando lugar a la cultura.

    Bueno, éste es mi enfoque Pablush. He dado un gran salto a vacío. No porque sea suicida sino porque sé que vos estás allá abajo! estás donde yo voy :) Saltemos una y otra vez, es una enorme felicidad reflexionar con gente linda como vos. Un abrazo

    ResponderEliminar
  10. Qué lindo momento ese en el cual creías saber mucho, y de repente no sabes nada. Hermosa entrada. Abrazo

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Muchas gracias Esteban, por leer y comentar tan elogiosamente.

      Eliminar
  11. Hola

    Me llegó tu escrito, sobre todo porque mencionas EL TODO. Eso me llegó.

    ¿Me puedes decir si existe una manera para usar la Proporcion Aurea en la ESCRITURA? Si se usa en todas las artes, ¿hay alguna manera de aplicarla al escribir Historias o Cuentos?

    Un abrazo,

    ALPHA

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Hola Alpha,

      Algo no tratado en profundidad en este artículo es cómo se utiliza la proporción áurea desarrollada en el tiempo en la música. La literatura (y supongo que a ella te referís cuando hablás de «Escritura») es, en cierta medida, también un arte temporal. Sin embargo, creo que son otros los códigos que mueven al escritor literario respecto al compositor musical, y puede que sea labor imposible el otorgar el justo «peso» a cada párrafo como para intentar una acción de proporcionar la escritura: una breve oración puede resultar tan altamente significativa que largas páginas ante ella pueden llegar a palidecer.

      El aspecto matemático que atraviesa a la arquitectura, las artes visuales y la música es el que le otorga a aquéllas cierta facilidad de apropiación del uso de la Proporción Áurea, aspecto que ignoro a través de qué artificio pueda incorporarse con claridad en el arte literario.

      Saludos!

      Eliminar